代数几何

内容提要:基本概念仿射空间中的代数子集,代数集的仿射坐标环,仿射坐标环的一些代数性质,有理函数的概念,多项式映射与环同态之间的关系,有理映射的概念,射影空间和齐次坐标的概念,射影空间中的线性子空间及其交会关系,古典射影几何中的对偶原理,射影空间中的代数子集,射影代数子集之间的映射,超曲面上的正则点和奇异点,超曲面在正则点处的流形结构。

到了近代法国数学家笛卡尔(Descartes)和费马(Fermat)能够用解析几何方法来研究任意代数曲线方程的时候,事情就发生了质的飞跃。

这个等式就是著名的F.希策布鲁赫和A.格罗腾迪克的黎曼-罗赫定理的原始形式(见代数函数域。

开始的学习,目的性强才容易进步。

年,在上述这本书出版之后不久,韦依终于证明了他的关于有限域上代数曲线的黎曼猜想。

我们在中学学解析几何时都曾经注意过这样的问题,那就是两个圆锥曲线最多有四个交点。

现在在复平面内,如果f(x,y)是一个二元复多项式,那么f(x,y)=0就定义了一条复代数曲线,注意在这里可以取复数值的x和y都是实2维的复变量,因此复平面就可以看成是实4维空间,而相当于两个实数等式的复数等式f(x,y)=0实际上又确定了两个4维空间中的曲面,由于每增加一个实数等式就相当于减少一个几何维数,于是复代数曲线f(x,y)=0实际上就是一个4-2=2维的实曲面。

对于代数曲线及代数曲面,单有理就是有理的,即同射影曲线及射影曲面双有理等价。

代数曲线的参模空间结构。

****高山仰止,景行行止,虽不能至,心向往之。

与复代数曲线类似,g(x,y.z)=0实际上确定了实6维空间中的一个6-2=4维的实微分流形。

开始的时候,人们对Grothendick这套庞大的抽象体系究竟有什么用感到非常的茫然,但是,在Deligne使用Grothendick的理论证明了高维Weil猜想后(这是Weil的另外一个猜想,是有限域上高维代数簇的Riemann猜想的模拟),情形就发生了剧烈的变化,到了70年代末,这套概型语言和上同调机制已经被许多同行所熟悉和掌握,并已成为研究现代代数几何学与数论(主要是指算术几何)的通用语言和基本工具。

要想证明韦依猜想,数学家们需要太多的数学工具,其中就包括还没有被创造出来的概形理论。

本书习题量大、内容丰富、辅导书中解答详尽,力求在提供解答时能尽可能多地渗透代数学的重要思想方法及证明的基本技巧。

研究是以三维代数簇为中心,以代数曲面论为模式,沿着三个方向进行的:一是有理性判据,即何时一个代数簇双有理等价于复射影空间。

在数学中经常用到空间这个概念,它指的范围很广,一般指某种对象(现象、状况、图形、函数等)的任意集合,灰?渲兴得髁?SPANlang=EN-US距离或邻域的概念就可以了。

然后试图在所有具有相同的数值不变量的分类对象组成的集合上建立一个自然的代数结构,称为它们的参量簇,使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时,对应的分类对象也在相应的代数结构中变化。

代数几何的起源很自然地是从关于平面中的代数曲线的研究开始的。

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