代数几何简史

法国数学家E.嘉当(E.Cartan)在其所使用的著名的活动标架方法的基础上提炼出了向量丛(vectorbundle)上的联络的思想(后来人们又从向量丛的理论中抽象出了更一般的纤维丛(fiberbundle)理论。

按照Grothendieck的观点,关注概形之间的态射要比关注单个概形的结构更为重要。

例如可以将圆锥曲线看成是两个相互射影对应线束的对应直线的交点轨迹等。

这本书不需要太长时间,一个多月吧,应该能看完。

讲简单的代数簇的例子,他就不太喜欢,觉得schemes更高等(如果像Mumford-Oda一样,把scheme解释成交换环范畴到集合范畴的协变函子,并且在Zariski拓扑下是局部”可表”的层,那就更高等了!),algebraicstacks更更高等,puremotives更更更高等,mixedmotives更更更更…一旦某个标题出现了特定的关键词,就立刻觉得它是高大上的,不看具体的内容。

****想在代数学上有所发展的孩纸,这个可以有。

而如果以概形为基本研究对象,那么代数几何的研究将摆脱坐标的限制。

我们定义:一个代数簇就是一个T0ringedspace,在每一点拥有一个开集ringedisomorphictoanaffinevariety.这个定义显然包含了投影簇,于是我们利用类似的方法可以得到大量投影簇的性质和定理。

这两种几何都是关注到了之前的几何当中,人们忽略掉的一些点。

****问到我本人的研究兴趣,我的研究方向为双有理几何。

这种应用的两个典型的例子就是:P.德利涅于1973年把韦伊关于ζ函数的定理推广到了有限域上的任意代数簇,即证明了著名的韦伊猜想,正是利用了格罗腾迪克的概型理论。

上同调群的群结构允许我们使用代数工具来研究流形的性质。

代数数论的研究其实也是推动代数几何理论发展的另一个重要来源。

同时,作为一门理论学科,代数几何的应用前景也开始受到人们的注意,其中的一个显著的例子是代数几何在控制论中的应用。

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除了抽象的范畴理论之外,学好singularitytheory,例如Grothendieckssimultaneousresolution这些具体的代数几何也是研究例子必不可少的。

对于某些方向,北京已经是世界一流的地方,北大的老师会向本科生介绍自己的研究方向,吸引他们接触更多样化的数学(包括代数几何。

看了这些,听报告也好,上课也好,别人说的话已经不那么像天书了。

Grothendieck推广了通常的拓扑空间的概念,给予了概形一个新的结构,称为étale拓扑,它比Zariski拓扑要更为精细。

我还是觉得分析很重要,不过为了赶紧学懂类域论,最捷径的方法没过于看一本叫NumberFields的一大帮人写的书,里面的局部类域论是Serre写的,整体类域论是Tate写的。

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